| Prima settimana | ||
| 16 set - Lez | Rappresentazione dei numeri | Numeri floating point. Arrotondamento. Precisione di macchina. Operazioni di macchina e propagazione dell'errore. |
| 17 set - Lab | Introduzione al Matlab. | Assegnazione di variabili scalari ed operazioni. Assegnazione di variabili vettoriali e matriciali. |
| 18 set - Lab | Introduzione al Matlab. | Rappresentazione dei numeri: eps, realmin, realmax. Assegnazione di funzioni di tipo handle. Grafici di funzione con il comando fplot e plot. Operazioni dell'algebra lineare e operazioni componente per componente. |
| 19 set - Lez | Sistemi lineari. | Algoritmo di sostituzione in avanti e all'indietro. Metodo di eliminazione di Gauss. Fattorizzazione LU. |
| Seconda settimana | ||
| 23 set - Lez | Sistemi lineari. | Fattorizzazione LU con pivoting. Esempi. Numero di condizionamento. Effetto sugli errori delle perturbazioni sui dati. |
| 24 set - Lab | Introduzione al Matlab | Uso dei programmi di tipo script e function. Cicli di tipo for e while. Espressioni logiche. Algoritmo di sostituzione per la risoluzioni di sistemi lineari con matrici triangolari. |
| 25 set - Lab | Lezione annullata | |
| 26 set - Lez | Lezione annullata | |
| Terza settimana | ||
| 30 sett - Lez | Equazioni e sistemi non lineari | Ricerca degli zeri di una funzione. Metodo delle bisezioni. Algoritmo. Metodo di Newton. |
| 1 ott - Lab | Sistemi lineari | Comando di Matlab per la risoluzione di sistemi lineari. Fattorizzazione LU. Confronto dei risultati relativi alla fattorizzazione senza o con pivoting. Fillin delle matrici L e U. |
| 2 ott - Lab | Sistemi lineari | Effetto delle perturbazioni nella risoluzione dei sistemi lineari. Esercizio sulla matrice di Hilbert. |
| 3 ott - Lez | Equazioni e sistemi non lineari | Teorema di convergenza del metodo di Newton. Test d'arresto. Metodo di Newton per sistemi |
| Quarta settimana | ||
| 7 ott - Lez | Equazioni e sistemi non lineari | Metodo delle secanti. Metodo di Broyden. Cenno ai problemi di minimo. Problema di punto fisso. Convergenza del metodo delle iterazioni successive. |
| 8 ott - Lab | Equazioni e sistemi non lineari. | Ricerca degli zeri di funzione con il metodo di bisezione. Implementazione del metodo di Newton. |
| 9 ott - Lab | Equazioni e sistemi lineari | Esercizi di ricerca degli zeri di funzione con il metodo di Newton. Comportamento del metodo di Newton. |
| 10 ott - Lez | Metodi iterativi per sistemi lineari | Metodi iterativi per sistemi lineari. Matrice di iterazione. Criteri di convergenza dei metodi iterativi. Metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. |
| Quinta settimana | ||
| 14 ott - Lez | Metodi iterativi per sistemi lineari | Metodo di Richardson stazionario e dinamico. Scelta del parametro. Metodo del gradiente precondizionato. Metodo del gradiente coniugato precondizionato. |
| 15 ott - Lab | Equazioni e sistemi non lineari | Calcolo degli zeri con la function fzero di Matlab. Risoluzione di sistemi di equazioni non lineari con il metodo di Newton e la function fsolve. |
| 16 ott - Lab | Equazioni e sistemi non lineari | Problemi di minimo. Uso delle function fminsearch e fminunc per trovare i punti di minimo non vincolati di una funzione di più variabili. |
| 17 ott - Lez | Problemi differenziali con valori ai limiti | Introduzione del problema. Approssimazione delle derivate con differenze finite e calcolo dell'errore. Uso delle differenze finite per risolvere un'equazione differenziale del secondo ordine con valori ai limiti. Costruzione del sistema lineare associato. Stima dell'errore. |
| Sesta settimana | ||
| 21 ott - Lez | Problemi differenziali con valori ai limiti | Implementazione del metodo delle differenze finite per risolvere equazioni differenziali con valori ai limiti. Numero di condizionamento della matrice ed effetto della propagazione degli errori di macchina sulla soluzione numerica. Equazione di diffusione, trasporto e reazione. Numero di Peclet. |
| 22 ott - Lab | Equazioni differenziali con valori ai limiti | Implementazione della function eqlim per risolvere un equazione differenziale con valori ai limiti mediante differenze finite. Ordine di convergenza. |
| 23 ott - Lab | Equazioni differenziali con valori ai limiti | Analisi della convergenza del metodo alle differenze finite per la soluzione numerica di equazioni differenziale con valori ai limiti. |
| 24 ott - Lez | Metodo degli elementi finiti | Introduzione della forma debole di un problema differenziale con valori ai limiti. Spazio della soluzione e delle funzioni test. Spazio degli elementi finiti. Problema discreto. Sistema lineare risultante. Cenno alle stime dell'errore. |
| Settima settimana | ||
| 28 ott - Lez | Approssimazione di funzioni | Interpolazione polinomiale. Esistenza ed unicità del polinomio interpolatore. Polinomi di Lagrange. Stima dell'errore. Nodi di Chebyshev. Costante di Lebesgue. |
| 29 ott - Lab | Equazioni differenziali con valori ai limiti | Effetto degli errori di arrotondamento nella soluzione di equazioni differenziali. Equazioni differenziali ai limiti con il termine di trasporto. Utilizzo di differenze finite centrate. |
| 30 ott - Lab | Equazioni differenziali con valori ai limiti | Equazioni differenziali ai limiti con il termine di trasporto. Confronto tra differenze finite centrate, all'indietro e in avanti. Metodo upwind. |
| 31 ott - Lez | Approssimazione di funzioni | Interpolazione lineare a tratti con stima dell'errore. Funzioni spline. |
| Ottava settimana | ||
| 4 nov - Lez | Approssimazione di funzioni e di dati.Integrazione numerica. | Minimi quadrati lineari. Equazioni normali. Formule di quadratura di base semplici e composite con stima dell'errore. |
| 5 nov - Lab | Test in Laboratorio | |
| 6 nov - Lab | Metodo degli elementi finiti | Applicazione del metodo degli elementi finiti per risolvere problemi differenziali con valori ai limiti. Analisi di convergenza. |
| 7 nov - Lez | Integrazione numerica | Grado di precisione. Formule di quadratura di Gauss. Formula di Cavalieri-Simpson adattativa. |
| Nona settimana | ||
| 11 nov - Lez | Equazioni differenziali ordinarie | Il problema di Cauchy. Risultati di esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati. Il metodo di Eulero in avanti. Stima dell'errore. |
| 12 nov - Lab | Interpolazione e approssimazione di funzioni | Assegnazione di polinomi in Matlab e loro valutazione con polyval. Costruzione di polinomi interpolatori usando polyfit. Errore di interpolazione con nodi equispaziati. Funzione di Runge. |
| 13 nov - Lab | Interpolazione e approssimazione di funzioni | Nodi di Chebyshev. Errore di interpolazione con nodi di Chebyshev. Effetto delle perturbazioni sul polinomio interpolatore. |
| 14 nov - Lez | Lezione annullata | |
| Decima settimana | ||
| 18 nov - Lez | Equazioni differenziali ordinarie | Metodo di Eulero implicito. Problema test e confronto tra Eulero esplicito e implicito. Effetto delle perturbazioni negli schemi numerici: zero-stabilità. Regione di assoluta stabilità. Metodo di Crank-Nicolson. |
| 19 nov - Lab | Interpolazione e approssimazione di funzioni. Minimi quadrati lineari. | Interpolazione a tratti. Function interp1 e spline. Regressione lineare. Uso del toolbox curve fitting. |
| 20 nov - Lab | Metodi iterativi per sistemi lineari. | Metodi di Jacobi e Gauss-Seidel. Verifica della convergenza per diverse matrici 3x3. Risoluzione del sistema lineare associato alla discretizzazione con differenze finite di problemi ai valori al bordo. Metodo del gradiente e del gradiente coniugato. |
| 21 nov - Lez | Equazioni differenziali ordinarie. | Metodi di ordine elevato: metodi di Runge-Kutta e multistep. Metodi Adams e BDF. Risoluzione di sistemi di equazioni differenziali del primo ordine e di equazioni differenziali di ordine superiore. Metodi Leap Frog e di Newmark per la risoluzione di equazioni differenziali del secondo ordine. |
| Undicesima settimana | ||
| 25 nov - Lez | Autovalori e autovettori | Definizioni e proprietà. Metodo delle potenze. Convergenza del metodo delle potenze. |
| 26 nov - Lab | Integrazione numerica | Formule composite di quadratura del punto medio, dei trapezi e di Cavalieri-Simipson. Effetto della regolarità delle funzioni sull'ordine di convergenza. Function integral e quad per il calcolo degli integrali con Matlab. Verifica dell'efficienza. |
| 27 nov - Lab | Equazioni differenziali ordinarie | Metodo di Eulero esplicito. Verifica delle proprietà di convergenza e zero-stabilità. Analisi della stabilità assoluta. |
| 28 nov - Lez | Autovalori e autovettori | Algoritmo delle potenze. Metodo delle potenze inverse e delle potenze inverse con shift. Decomposizione di Schur e calcolo di tutti gli autovalori di una matrice con il metodo QR. |
| Dodicesima settimana | ||
| 2 dic - Lez | Equazioni alle derivate parziali | Modello matematico per la filtrazione di un fluido in un mezzo poroso e per lo spostamento di una membrana elastica. Equazione di Laplace. Introduzione del problema debole e definizione degli spazi di elementi finiti. Definizione di elemento finito: geometria, polinomi e gradi di libertà. |
| 3 dic - Lab | Equazioni differenziali ordinarie | Metodi di Eulero implicito, di Heun, di Crank-Nicolson e di Runge-Kutta del quarto ordine. Effetto degli errori di arrotondamento nella soluzione di equazioni differenziali ordinarie. Utilizzo dei solutori di Matlab. Risoluzione di sistemi di equazioni differenziali del primo ordine. Riduzione di equazioni differenziali di ordine superiore al primo a sistemi di equazioni differenziali del primo ordine. |
| 4 dic - Lab | Equazioni differenziali ordinarie | Risoluzione con i solutori di Matlab di esercizi vari. |
| 5 dic - Lez | Equazioni alle derivate parziali | Costruzione ed assemblaggio della matrice di rigidezza per elementi finiti lineari a tratti per un problema ellittico in 2D. |
| Tredicesima settimana | ||
| 9 dic - Lez | Equazioni alle derivate parziali | Discretizzazione di problemi ellittici con condizioni al bordo di Dirichlet non omogenee e condizioni di Neumann. Equazione del calore. Approssimazione del problema del calore con differenze finite. Riduzione del problema ad un sistema di equazioni differenziali ordinarie. Metodo di avanzamento in tempo e sue proprietà. |
| 10 dic - Lab | Equazioni alle derivate parziali | Come usare il toolbox PDETOOL di Matlab per risolvere un'equazione alle derivate parziali con il metodo degli elementi finiti. |