Giornale delle lezioni
di
ANALISI NUMERICA
a.a 2015/16
CdLM Ingegneria Civile



Prima settimana
21 set - Lez Presentazione del corso. Numeri di macchina. Arrotondamento.
22 set - Lab Introduzione al Matlab. Assegnazione di variabili scalari ed operazioni. Assegnazione di matrici e vettori.
23 set - Lab Assegnazioni di funzioni di tipo handle. Grafici di funzione con i comandi fplot e plot. Programmi di tipo script e function. Controllo if.
24 set - Lez Operazioni di macchina. Propagazione degli errori nelle operazioni. Differenze finite.
Seconda settimana
5 ott - Lez Equazioni differenziali con valori ai limiti. Discretizzazione con differenze finite. Costruzione del sistema lineare. Stima dell'errore. Implementazione.
6 ott - Lab Equazioni differenziali con valori ai limiti. Costruzione della function per risolvere con differenze finite.
7 ott - Lab Risoluzione di equazioni differenziali con valori ai limiti. Implementazione del metodo delle differenze finite.
8 ott - Lez Equazioni di diffusione, trasporto e reazione. Discretizzazione con differenze finite. Caso del problema a trasporto dominante. Equazioni differenziali in 2D. Esempio della membrana elastica. Risoluzione dell'equazione di Poisson con differenze finite.
Terza settimana
12 ott - Lez Risoluzione dell'equazione di Poisson con differenze finite. Teorema di convergenza. Sistemi lineari. Algoritmo di sostituzione in avanti e all'indietro per risolvere sistemi lineari con matrici triangolari. Metodo di eliminazione di Gauss. Fattorizzazione LU.
13 ott - Lab Risoluzione di equazioni differenziali con valori ai limiti. Analisi della convergenza.
14 ott - Lab Risoluzione di equazioni differenziali con valori ai limiti.
15 ott - Lez Fattorizzazione di una matrice. Pivoting. Numero di condizionamento di una matrice.
Quarta settimana
19 ott - Lez Metodo degli elementi finiti per problemi differenziali in una dimensione. Formulazione debole di un'equazione differenziale con valori ai limiti. Equivalenza con il problema di minimo dell'energia.
20 ott - Lab Risoluzione di alcune equazioni differenziali con termine di trasporto.
21 ott - Lab Effetto dell'utilizzo delle differenze finite centrate, in avanti e all'indietro nella risoluzione di equazioni di diffusione-trasporto con trasporto dominante. Fattorizzazione LU.
22 ott - Lez Stima dell'errore per il metodo degli elementi finiti. Interpolazione polinomiale. Polinomi di Lagrange. Formula dell'errore.
Quinta settimana
26 ott - Lez Problema della convergenza uniforme dei polinomi interpolatori. Funzione di Runge. Nodi di Chebyshev. Stabilità dell'interpolazione polinomiale. Costante di Lebesgue. Interpolazione lineare a tratti e stime dell'errore.
27 ott - Lab Analisi degli errori nella risoluzione di sistemi lineari.
28 ott - Lab Metodo degli elementi finiti in 1D.
29 ott - Lez Approssimazione nel senso dei minimi quadrati. Formule di quadratura del punto medio, dei trapezi e di Cavalieri-Simpson. Grado di precisione.
Sesta settimana
2 nov - Lez Stime dell'errore per le formule di quadratura. Formula adattativa di Cavalieri-Simpson. Ricerca degli zeri di una funzione. Metodo di bisezione.
3 nov - Lab Metodo degli elementi finiti in 1D. Esempi.
4 nov - Lab Metodo degli elementi finiti in 1D. Polinomi interpolatori. Uso delle function polyval e polyfit.
5 nov - Lez Metodo di Newton per la ricerca degli zeri di funzione. Teorema di convergenza locale quadratica. Metodo delle secanti. Problemi di punto fisso. Metodo delle approssimazioni successive.
Settima settimana
9 nov - Lez Metodo di Newton per sistemi non lineari. Metodi iterativi per sistemi lineari. Risultati di convergenza.
10 nov - Lab Errore nell'approssimazione con polinomi interpolatori. Funzione di Runge. Nodi di Chebyshev.
11 nov - Lab Test intermedio in laboratorio.
12 nov - Lez Metodo di Jacobi e di Gauss-Seidel. Metodo di Richardson stazionario.
Ottava settimana
16 nov - Lez Metodo del gradiente e del gradiente coniugato. Autovalori e autovettori: definizioni e richiami. Teorema di localizzazione di Gershgorin.
17 nov - Lab Uso dei nodi di Chebyshev per l'approssimazione della funzione di Runge. Interpolazione polinomiale a tratti. Spline. Function interp1, spline e pchip.
18 nov - Lab Formule di quadratura. Convergenza delle formule di quadratura. Function di Matlab per il calcolo degli integrali. Confronto dell'efficienza del metodo di Simpson a passo costante e di Simpson adattivo.
19 nov - Lez Metodo delle potenze e delle potenze inverse per il calcolo degli autovalori di modulo massimo e minimo. Metodo delle potenze inverse con shift. Metodo QR per il calcolo di tutti gli autovalori.
Nona settimana
23 nov - Lez Metodo degli elementi finiti per problemi ellittici in due dimensioni spaziali. Problema in forma debole. Costruzione dello spazio degli elementi finiti.
24 nov - Lab Ricerca degli zeri di funzione. Applicazione del metodo di Newton ad alcuni esempi. Analisi della convergenza.
25 nov - Lab Utilizzo della function fzero di Matlab per la ricerca degli zeri di funzione. Calcolo della soluzione di sistemi non lineari con il metodo di Newton-Raphson e con la function fsolve di Matlab. Toolbox pdetool per la risoluzione di equazioni alle derivate parziali.
26 nov - Lez Elementi finiti in 2D. Griglia di calcolo, polinomi a tratti e gradi di libertà. Problemi ellittici con condizioni di Dirichlet non omogenee. Problemi ellittici con condizioni di Neumann. Problema di Cauchy: esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati.
Decima settimana
30 nov - Lez Risoluzione numerica di un problema di Cauchy. Metodi di Eulero esplicito ed implicito. Stabilità assoluta. Stima dell'errore e convergenza del metodo di Eulero esplicito.
1 dic - Lab Toolbox pdetool per la risoluzione di equazioni alle derivate parziali.
2 dic - Lab Toolbox pdetool per la risoluzione di equazioni alle derivate parziali. Utilizzo dei comandi di Matlab per la risoluzione di PDE.
3 dic - Lez Zero-stabilità. Effetto degli errori di macchina. Metodo di Crank-Nicolson. Problemi computazionali dei metodi impliciti. Metodo di Heun e di Runge-Kutta del quarto ordine. Metodi multistep.
Undicesima settimana
7 dic - Lez Effetto della regione di assoluta stabilità sulle perturbazioni. Problemi stiff. Sistemi di equazioni differenziali ordinarie ed equazioni differenziali ordinarie di ordine superiore al primo.
9 dic - Lab Metodi numerici per la risoluzioni di equazioni differenziali ai valori iniziali. Implementazione del metodo di Eulero esplicito per la risoluzione di equazioni differenziali ordinarie. Zero-stabilità e stabilità assoluta.
10 dic - Lez Equazione del calore. Semidiscretizzazione in spazio con il metodo degli elementi finiti. Riduzione del problema ad un sistema di equazioni differenziali ordinarie. Metodi di avanzamento in tempo.
Dodicesima settimana
14 dic - Lez Lezione sospesa per l'Inaugurazione dell'anno accademico.
15 dic - Lab Analisi della convergenza dei metodi di Eulero implicito, di Heun, di Crank-Nicolson e di Runge-Kutta del quarto ordine. Risolutori di Matlab per calcolare la soluzione di problemi di Cauchy. Esempi per sistemi di equazioni differenziali ed equazioni differenziali di ordine superiore al primo.
16 dic - Lab Risoluzione di sistemi di equazioni differenziali ed equazioni differenziali di ordine superiore al primo.
17 dic - Lez Equazione del calore. Metodo di avanzamento in tempo. Condizioni di stabilità sulla scelta del passo temporale in funzione dei parametri della griglia.